Die teorie van waarskynlikheid. Waarskynlikheid van 'n gebeurtenis, geleentheid gebeurtenis (waarskynlikheidsteorie). Onafhanklike en onversoenbare ontwikkelings in die teorie van waarskynlikheid

Dit is onwaarskynlik dat baie mense dink dit is moontlik om gebeure te tel, wat tot 'n mate toevallige. Om dit in eenvoudige woorde te stel, is dit realisties om te weet watter kant van die kubus in die dice volgende keer sal val. Dit was hierdie vraag twee groot wetenskaplikes vra, het die grondslag gelê vir hierdie wetenskap, die teorie van waarskynlikheid, die waarskynlikheid van die gebeurtenis waarin die bestudeer omvattend genoeg nie.

generasie

As jy probeer om so 'n konsep te definieer as die teorie van waarskynlikheid, kry ons die volgende: dit is een van die takke van wiskunde wat die konstantheid van ewekansige gebeure bestudeer. Dit is duidelik dat hierdie konsep regtig nie die essensie te openbaar, sodat jy nodig het om dit te oorweeg om in meer detail.

Ek wil graag begin met die stigters van die teorie. Soos hierbo genoem, was daar twee, wat Per Ferma en Blez Paskal. Hulle was die eerste poging tot die gebruik van formules en wiskundige berekeninge om die uitslag van 'n gebeurtenis te bereken. In die algemeen is die eerste beginsels van die wetenskap is nog in die Middeleeue. Terwyl verskeie denkers en wetenskaplikes het probeer om te analiseer die casino speletjies soos roulette, craps, en so aan, en sodoende 'n patroon te vestig, en die persentasie verlies van 'n aantal. Die fondament is ook gelê in die sewentiende eeu was dit die voorgenoemde geleerdes.

Aanvanklik kon hulle werk nie toegeskryf word aan die groot prestasies in hierdie veld, na alles, wat hulle gedoen het, was hulle net empiriese feite en eksperimente was duidelik sonder die gebruik van formules. Met verloop van tyd, dit blyk om goeie resultate, wat verskyn as 'n gevolg van waarneming van die cast van die bene te bereik. Dit is hierdie instrument het gehelp om die eerste duidelike formule bring.

ondersteuners

Om nie te praat soos 'n man soos Christiaan Huygens, in die proses van die bestudering van die onderwerp wat die naam van "waarskynlikheidsteorie" dra (waarskynlikheid van die gebeurtenis beklemtoon dit in hierdie wetenskap). Hierdie persoon is baie interessant. Hy, asook wetenskaplikes bo aangebied word probeer in die vorm van wiskundige formules om 'n patroon van ewekansige gebeure aflei. Dit is opmerklik dat hy dit nie deel met Pascal en Fermat, dit is al wat sy werk nie oorvleuel met dié gedagtes. Huygens afgelei van die basiese konsepte van waarskynlikheid teorie.

'N Interessante feit is dat sy werk het lank voor die resultate van die werk van die pioniers, om presies te wees, twintig jaar vroeër. Daar is net een van die geïdentifiseerde was konsepte:

• as die konsep van waarskynlikheid waardes kans;
• verwagting vir die diskrete geval;
• stellings van optelling en vermenigvuldiging van waarskynlikhede.

Ook, kan 'n mens nie vergeet Yakoba Bernulli, wat ook bygedra tot die studie van die probleem. Deur middel van hul eie, van wie nie onafhanklik toetse, was hy in staat om bewys van die wet van groot getalle te verskaf. Op sy beurt het wetenskaplikes Poisson en Laplace, wat in die vroeë negentiende eeu gewerk, was in staat om die oorspronklike stelling te bewys. Van daardie oomblik af om foute in die waarnemings analiseer ons begin met behulp van waarskynlikheidsteorie. Party rondom hierdie wetenskap kon nie en Russiese wetenskaplikes, eerder Markov, Chebyshev en Dyapunov. Dit is gebaseer op die werk wat gedoen is groot genieë, verseker die vak as 'n tak van wiskunde. Ons het hierdie syfers aan die einde van die negentiende eeu, en te danke aan hul bydrae, het bewys verskynsels soos:

• wet van groot getalle;
• Teorie van Markov-kettings;
• Die sentrale limietstelling.

So, die geskiedenis van die geboorte van die wetenskap en die groot persoonlikhede wat bygedra het tot dit, alles is min of meer duidelik. Nou is dit tyd om die vlees uit al die feite.

basiese konsepte

Voordat jy raak die wette en stellings die basiese konsepte van waarskynlikheid teorie moet leer. Event dit beslaan 'n dominante rol. Hierdie onderwerp is eerder 'n uitgebreide, maar sal nie in staat wees om al die res verstaan sonder dat dit.

Gebeurtenis in waarskynlikheidsteorie - dit Enige stel uitkomste van die eksperiment. Konsepte van hierdie verskynsel daar is nie genoeg nie. So, Lotman wetenskaplike werk in hierdie gebied, het uitgespreek dat in hierdie geval praat ons oor wat "gebeur het, alhoewel dit nie kan gebeur nie."

Ewekansige gebeure (waarskynlikheidsteorie betaal spesiale aandag aan hulle) - is 'n konsep wat absoluut geen verskynsel wat die moontlikheid om plaas te vind behels. Of nie, inteendeel, hierdie scenario kan nie gebeur in die uitvoering van 'n verskeidenheid van toestande. Dit is ook die moeite werd om te weet dat die hele volume van die verskynsel wat plaasvind net ewekansige gebeure beset. Waarskynlikheid teorie stel voor dat alle toestande voortdurend herhaal kan word. Dit is hul optrede is "ervaring" of sogenaamde "toets."

Belangrike gebeurtenis - dit is 'n verskynsel wat is een honderd persent in hierdie toets gebeur. Gevolglik het die onmoontlike gebeurtenis - dit is iets wat nie gebeur nie.

Die kombinasie van pare Aksie (konvensioneel die geval A en geval B) is 'n verskynsel wat gelyktydig plaasvind. Hulle staan bekend as AB.

Die bedrag van pare gebeurtenisse A en B - C is, met ander woorde, indien ten minste een van hulle sal (A of B), kry jy 'n C. Die formule beskryf verskynsel is geskryf as C = A + B

Onversoenbare ontwikkelings in die teorie van waarskynlikheid impliseer dat die twee gevalle is onderling uitsluitend. Terselfdertyd is hulle in elk geval nie kan plaasvind nie. Gesamentlike gebeure in waarskynlikheidsteorie - dit is hul teenvoeter. Die implikasie is dat as 'n gebeur, dit belet nie C.

Teen die gebeurtenis (waarskynlikheidsteorie beskou hulle in groot detail), is maklik om te verstaan. Dit is die beste om dit te hanteer in vergelyking. Hulle is byna dieselfde as in stryd ontwikkelings in die teorie van waarskynlikheid. Maar hulle verskil is dat 'n mens van 'n pluraliteit van verskynsels in elk geval moet plaasvind.

Ewe waarskynlik gebeure - dié optrede, die moontlikheid van herhaling is gelyk. Om dit duidelik te maak, kan jy jou indink die gooi van 'n muntstuk: die verlies van een van sy kante is ewe waarskynlike verlies ander.

Dit is makliker om die voorbeeld van ten gunste van die gebeurtenis te oorweeg. Gestel daar is 'n episode in die episode A. Die eerste - 'n rol van 'n dobbelsteentjie met die koms van 'n onewe getal, en die tweede - die voorkoms van die getal vyf dice. Dan draai dit uit dat A bevoordeel V.

Onafhanklike gebeurtenisse in waarskynlikheidsteorie word geprojekteer net op twee of meer geleenthede en betrek onafhanklik van enige optrede van die ander. Byvoorbeeld, A - by verlies sterte muntstuk gooi, en B - dostavanie domkrag van die dek. Hulle het onafhanklike gebeurtenisse in waarskynlikheidsteorie. Van hierdie oomblik het dit duidelik geword.

Afhanklik gebeure in waarskynlikheidsteorie is ook toelaatbaar slegs vir hul stel. Hulle impliseer afhanklikheid van een op die ander, dit wil sê die verskynsel kan voorkom in net in die geval wanneer 'n reeds plaasgevind het of nie, inteendeel, het nie gebeur wanneer dit - die belangrikste voorwaarde vir B.

Die uitkoms van die ewekansige eksperiment bestaan uit 'n enkele komponent - dit is elementêre gebeure. Waarskynlikheidsteorie sê dat dit 'n verskynsel wat slegs een keer gedoen.

basiese formule

So, die bogenoemde is van mening dat die konsep van "event", "waarskynlikheidsteorie", is definisies van sleutelterme van hierdie wetenskap ook gegee. Nou is dit tyd om homself vertroud te maak met die belangrikste formules. Hierdie uitdrukkings is wiskundig bevestig al die belangrikste konsepte in so 'n moeilike onderwerp as die teorie van waarskynlikheid. Waarskynlikheid van 'n gebeurtenis en speel 'n groot rol.

Beter om te begin met die basiese formules van kombinatorika. En voordat jy dit begin, dit is die moeite werd oorweging wat dit is.

Kombinatorika - is in die eerste plek 'n tak van wiskunde, hy is die studie van 'n groot aantal van heelgetalle en verskeie permutasies van beide die getalle en die elemente, verskillende data, ens, wat lei tot 'n aantal kombinasies ... In bykomend tot die teorie van waarskynlikheid, hierdie bedryf is belangrik vir die statistiek, rekenaarwetenskap en kriptografie.

So nou kan jy aanbeweeg na die aanbieding van hulself en hul definisie formules.

Die eerste hiervan is die uitdrukking vir die aantal permutasies, dit is soos volg:

P_n = n ⋅ (N - 1) ⋅ (N - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = N!

Vergelyking is slegs van toepassing in die geval indien die elemente net verskil in die orde van reëling.

Nou plasing formule, dit lyk soos dit sal oorweeg word:

A_n ^ m = n ⋅ (N - 1) ⋅ (N-2) ⋅ ... ⋅ (N - m + 1) = n! (N - m)!

Hierdie uitdrukking is van toepassing nie net die enigste element van orde plasing, maar ook om die samestelling daarvan.

Die derde vergelyking van kombinatorika, en dit is die laasgenoemde, het die formule vir die aantal kombinasies:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Kombinasie genoem monsterneming, wat nie bestel, onderskeidelik, om en hierdie reël toegepas.

Met die formules van kombinatorika gekom om maklik te verstaan, kan jy nou gaan na die klassieke definisie van waarskynlikheid. Dit lyk soos hierdie uitdrukking soos volg:

P (A) = m: n.

In hierdie formule, m - is die getal van toestande wat bevorderlik is vir die gebeurtenis A en N - aantal ewe en heeltemal al ELEMENTARY gebeure.

Daar is baie uitdrukkings in die artikel sal niks in ag geneem word, maar geraak sal die belangrikstes soos byvoorbeeld die waarskynlikheid van gebeurtenisse neer:

P (A + B) = P (A) + P (B) - hierdie stelling vir die toevoeging van net onderling uitsluitende gebeurtenisse;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - maar dit is net vir die toevoeging van versoenbaar.

Die waarskynlikheid van die gebeurtenis werke:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - hierdie stelling vir onafhanklike gebeurtenisse;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - en dit vir die afhanklike.

Geëindig lys van gebeure formule. Die teorie van waarskynlikheid vertel ons stelling Bayes, wat lyk soos volg:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., N

In hierdie formule, H _1, H _2, ..., H _N - is 'n volledige stel van hipoteses.

Op hierdie punt, sal monsters formules aansoek nou oorweeg word vir spesifieke take uit die praktyk.

voorbeelde

As jy mooi enige tak van wiskunde bestudeer, is dit nie sonder oefeninge en voorbeeld oplossings. En die teorie van waarskynlikheid: gebeure, voorbeelde hier is 'n integrale deel van die bevestiging van wetenskaplike berekeninge.

Die formule vir die aantal permutasies

Byvoorbeeld, in 'n kaart dek het dertig kaarte, wat begin met die nominale een. Volgende vraag. Hoeveel maniere om die dek sodat die kaarte met 'n sigwaarde van een en twee nie langs is geleë vou?

Die taak is ingestel, nou kom ons beweeg aan om dit te hanteer. Eerstens moet jy die aantal permutasies van dertig elemente, vir hierdie doel ons neem die bogenoemde formule bepaal, dit blyk P_30 = 30!.

Op grond van hierdie reël, ons weet hoeveel opsies daar is om vas te stel die dek in baie maniere, maar ons moet afgetrek word van hulle is dié waarin die eerste en tweede kaart sal volgende wees. Om dit te doen, begin met 'n variant, wanneer die eerste is geleë op die tweede. Dit blyk dat die eerste kaart nege en twintig plekke kan neem - van die eerste tot nege twintigste, en die tweede kaart van die tweede tot die dertig, draai nege en twintig sitplekke vir pare van kaarte. Op sy beurt is, kan die ander agt en twintig sitplekke neem, en in enige volgorde. Dit wil sê, vir die herrangskikking van die agt en twintig kaarte twintig opsies P_28 = 28!

Die gevolg is dat as ons kyk na die besluit, wanneer die eerste kaart is op die tweede ekstra geleentheid te kry 29 ⋅ 28! = 29!

Met behulp van dieselfde metode, wat jy nodig het om die aantal onnodige opsies vir die geval wanneer die eerste kaart is geleë onder die tweede bereken. Ook verkry 29 ⋅ 28! = 29!

Hieruit volg dat die ekstra opsies 2 ⋅ 29!, Terwyl die nodige middele van die invordering van die dek 30! - 2 ⋅ 29!. Dit bly net om te bereken.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30-2) = 29! ⋅ 28

Nou moet ons al die nommers saam vermeerder 1-29, en dan aan die einde van alle vermenigvuldig met 28. verkry Die antwoord 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Voorbeelde van oplossings. Die formule vir die aantal akkommodasie

In hierdie probleem, wat jy nodig het om uit te vind hoeveel daar is maniere om die vyftien volumes op 'n rak sit nie, maar onder die voorwaarde dat slegs dertig volumes.

In hierdie taak, die besluit 'n bietjie makliker as die vorige. Die gebruik van die reeds bekende formule, is dit nodig om die totale aantal dertig plekke vyftien volumes te bereken.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Reaksie, onderskeidelik, sal gelyk wees aan 202 843 204 931 727 360 000 wees.

Neem nou die taak 'n bietjie moeiliker. Wat jy nodig het om te weet hoeveel daar is maniere om die twee en dertig boeke op die rakke te reël, met dien verstande dat slegs vyftien volumes op dieselfde rak kan woon.

Voor die begin van die besluit wil om te verduidelik dat 'n paar van die probleme opgelos kan word op verskeie maniere, en in hierdie is daar twee maniere, maar in albei een en dieselfde formule toegepas word.

In hierdie taak, kan jy die antwoord van die vorige een te neem, want daar ons die aantal kere wat jy kan die rak vul vir vyftien boeke op verskillende maniere bereken. Dit blyk A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Die tweede regiment bereken deur die formule aangebring, want dit is geplaas vyftien boeke, terwyl die res van vyftien. Ons gebruik formule P_15 = 15!.

Dit blyk dat die bedrag sal A_30 ^ 15 ⋅ P_15 maniere, maar benewens, sal die produk van al die nommers 30-16 word vermenigvuldig met die produk van die getalle 1-15, in die einde uitdraai die produk van al die nommers 1-30, wat is die antwoord is 30!

Maar hierdie probleem opgelos kan word in 'n ander manier - makliker. Om dit te doen, kan jy jou indink dat daar een rak vir dertig boeke. Almal van hulle is geplaas op hierdie vlak nie, maar omdat die toestand vereis dat daar twee rakke, 'n lang ons saag in die helfte, twee beurte vyftien. Hieruit blyk dat vir hierdie reëling kan wees P_30 = 30!.

Voorbeelde van oplossings. Die formule vir die aantal kombinasies van

Wat beskou word as 'n variant van die derde probleem van kombinatorika. Wat jy nodig het om te weet hoeveel maniere daar is om vyftien boeke op die voorwaarde dat jy moet kies uit dertig presies dieselfde reël.

Vir die besluit sal, natuurlik, toe te pas die formule vir die aantal kombinasies. Van die voorwaarde dat dit duidelik dat die einde van dieselfde vyftien boeke is nie belangrik nie. So aanvanklik wat jy nodig het om uit te vind die totale aantal kombinasies van dertig vyftien boeke.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Dis al. Die gebruik van hierdie formule, in die kortste moontlike tyd om so 'n probleem, die antwoord, onderskeidelik, gelyk aan 155117520 los.

Voorbeelde van oplossings. Die klassieke definisie van waarskynlikheid

Met behulp van die formule wat hierbo gegee, kan 'n mens 'n antwoord op 'n eenvoudige taak te vind. Maar dit sal duidelik sien en volg die plan van aksie.

Die taak gegee dat in 'n urn is daar tien heeltemal identiese balle. Van hierdie vier geel en ses blou. Geneem uit die urn een bal. Dit is nodig om die waarskynlikheid dostavaniya blou weet.

Om die probleem op te los is dit nodig om dostavanie blou bal gebeurtenis A. aanwys Hierdie ervaring kan tien uitkomste, het wat op sy beurt, afsondering en ewe waarskynlik. Terselfdertyd, ses van die tien is gunstig vir die gebeurtenis A. Los die volgende formule:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Die toepassing van hierdie formule, het ons geleer dat die moontlikheid dostavaniya blou bal is 0.6.

Voorbeelde van oplossings. Die waarskynlikheid van gebeurtenisse bedrag

Wie sal 'n variant wat opgelos word deur gebruik te maak van die formule van waarskynlikheid van gebeurtenisse bedrag wees. So, gegewe die voorwaarde dat daar twee gevalle, die eerste een is grys en vyf wit balle, terwyl die tweede - agt grys en vier wit balle. As gevolg hiervan, het die eerste en tweede bokse geneem op een van hulle. Dit is nodig om uit te vind wat is die kanse dat 'n tekort die balle is grys en wit.

Om hierdie probleem op te los, is dit nodig om die gebeurtenis te identifiseer.

• So, A - ons het 'n grys bal van die eerste blokkie: P (A) = 1/6.
• A '- wit gloeilamp ook geneem van die eerste blokkie: P (A) = 5/6.
• Die - reeds onttrek grys bal van die tweede kanaal: P (B) = 2/3.
• B '- het 'n grys bal van die tweede laai: P (B') = 1/3.

Volgens die probleem is dit nodig dat 'n mens van die verskynsel gebeur: AB "of" B. Met behulp van die formule, ons kry: P (AB ") = 18/1, P (A'B) = 10/18.

Nou is die formule van die waarskynlikheid vermenigvuldig gebruik. Volgende, om uit te vind die antwoord, wat jy nodig het om hul vergelyking te voeg van toepassing:

P = P (AB "+ A'B) = P (AB") + P (A'B) = 11/18.

Dit is hoe, met behulp van die formule, jy kan sulke probleme op te los.

gevolg

Die papier is aangebied om die inligting op 'waarskynlikheidsteorie ", die waarskynlikheid van gebeurtenisse wat 'n belangrike rol speel. Natuurlik, het nie alles in ag geneem, maar op grond van die aangebied teks, kan jy teoreties kennis te maak met hierdie tak van wiskunde. Beskou die wetenskap kan nuttig nie net in die professionele besigheid, maar ook in die alledaagse lewe te wees. Jy kan dit gebruik om enige moontlikheid van 'n gebeurtenis te bereken.

Die teks is ook geraak deur beduidende datums in die geskiedenis van die ontwikkeling van waarskynlikheidsteorie as 'n wetenskap, en die name van mense wie se werke is daarin sit. Dit is hoe mens nuuskierigheid het gelei tot die feit dat mense geleer het om te tel, selfs ewekansige gebeure. Sodra hulle is net geïnteresseerd in hierdie, maar vandag is dit is reeds bekend aan almal. En niemand kan sê wat sal gebeur met ons in die toekoms, wat ander briljante ontdekkings met betrekking tot die teorie onder oorweging, sou gepleeg word. Maar een ding is seker - die studie nog nie die moeite werd!