Gauss: voorbeelde van oplossings en spesiale gevalle

Gauss metode, ook bekend as die metode van stapsgewyse uitskakeling van onbekende veranderlikes, vernoem na die prominente Duitse wetenskaplike KF Gauss, terwyl hy nog lewendig ontvang die amptelike titel "Koning van wiskunde." Tog het hierdie metode is bekend lank voor die geboorte van die Europese beskawing, selfs in die I eeu. BC. e. Antieke Chinese geleerdes het dit gebruik in sy geskrifte.

Gauss is 'n klassieke manier van die oplossing van stelsels lineêre algebraïese vergelykings (Slough). Dit is ideaal vir 'n vinnige oplossing vir die beperkte grootte matrikse.

Die metode self bestaan uit twee stappe: voorwaartse en terugwaartse. Direkte natuurlik bekend as die vertoon SLAE driehoekige vorm volgorde, dit wil sê nul waarde onder die hoof skuins. Regstelling behels die volgehoue bevinding van veranderlikes, die uitdrukking van elke veranderlike deur die vorige.

Leer om aansoek te doen in die praktyk, Gauss Dis net genoeg om die basiese reëls van vermenigvuldiging, optelling en aftrekking van getalle te leer ken.

Met die oog op die algoritme vir die oplos van lineêre stelsels deur hierdie metode te demonstreer, verduidelik ons 'n voorbeeld.

So, wat opgelos moet word met behulp van Gauss:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6

Ons moet die tweede en derde lyne om ontslae te raak van die veranderlike x. Om hierdie ons by hom die eerste maal -2, en -4, onderskeidelik. ons kry:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18

Nou die 2de lyn vermenigvuldig met 5 en voeg dit by die derde:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18

Ons het ons stelsel na 'n driehoekige vorm. Nou voer ons uit reverse. Ons begin met die laaste reël:
-3z = -18,
z = 6.

Die tweede lyn:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

Die eerste reël:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3

Vervang die waardes van die veranderlikes in die oorspronklike data, ons bevestig die korrektheid van die beslissing.

Hierdie voorbeeld kan opgelos word 'n baie van enige ander substitusies, maar die antwoord is veronderstel om dieselfde te wees.

Dit gebeur so dat die voorste elemente van die eerste ry gerangskik met te klein waardes. Dit is nie scary nie, maar eerder bemoeilik die berekeninge. Die oplossing is om Gauss met tuimelende op 'n kolom. Die essensie is soos volg: die eerste reël van die maksimum gesoek modulo element, die kolom waarin dit geleë is, te verander plekke met die 1ste kolom, wat is ons maksimum element word die eerste element van die belangrikste skuins. Volgende is 'n standaard berekening proses. Indien nodig, die prosedure verander die kolomme in sommige plekke kan herhaal word.

Nog 'n weergawe van die metode is die metode van Gauss Gauss-Jordan.

Dit word gebruik vir die oplos van lineêre stelsels vierkante, wanneer die inverse matriks van die matriks en rang (aantal nie-nul lyne).

Die kern van hierdie metode is dat die oorspronklike stelsel is verander deur veranderinge in die identiteitsmatriks met 'n verdere bevinding veranderlikes.

Die algoritme is dat dit:

1. Die stelsel van vergelykings is, as in die metode van Gauss, 'n driehoekige vorm.

2. Elke lyn is verdeel in 'n spesifieke aantal in so 'n manier dat die eenheid geword het op die hoof skuins.

3. Die laaste reël word vermenigvuldig met 'n sekere aantal en afgetrek van die voorlaaste sodat dit nie op die hoof skuins 0 te kry.

4. Stap 3 herhaal agtermekaar vir alle rye totdat uiteindelik nie die eenheid matrix vorm.