Die Euler sirkel. Sirkels Euler - voorbeelde in logika

Leonard Euler (1707-1783) - 'n beroemde Switserse en Russiese wiskundige, 'n lid van die Petersburg Academy of Sciences, het die grootste deel van sy lewe in Rusland deurgebring. Die bekendste in wiskundige analise, statistiek, informatika en logika is die Euler-sirkel (Euler-Venn-diagram) wat die omvang van konsepte en stelle elemente aandui.

John Venn (1834-1923) is 'n Engelse filosoof en logikus, mede-outeur van die Euler-Venn-diagram.

Verenigbare en onverenigbare konsepte

By konsep in logika word 'n vorm van denke bedoel wat die essensiële eienskappe van 'n klas van homogene voorwerpe weerspieël. Hulle word aangedui met een of 'n groep woorde: "wêreldkaart", "dominante kwintuptakkord", "Maandag", ens.

In die geval wanneer die volume-elemente van een konsep geheel of gedeeltelik aan die volume van die ander behoort, praat hulle van versoenbare konsepte. As geen element van die volume van 'n sekere konsep hoort by die volume van die ander nie, het ons 'n plek met onverenigbare konsepte.

Op sy beurt het elkeen van die konsepte sy eie stel moontlike verhoudings. Vir verenigbare konsepte is dit die volgende:

• Identiteit (ekwivalensie) van volumes;
• Interseksie (gedeeltelike toevalligheid) van volumes;
• ondergeskiktheid (ondergeskiktheid).

Vir onverenigbaar:

• Ondergeskiktheid (koördinasie);
• Kontras (kontras);
• teenstrydigheid (kontradiktornost).

Skematies word die verband tussen konsepte in logika gewoonlik deur Euler-Venn-sirkels aangedui.

Ekwivalensie verhoudings

In hierdie geval beteken die konsepte dieselfde ding. Gevolglik val die volumes van hierdie konsepte heeltemal saam. Byvoorbeeld:

A - Sigmund Freud;

B - die stigter van psigoanalise.

óf:

A is 'n vierkant;

B is 'n gelyksydige reghoek;

C is 'n konformale ruit.

Vir die benaming word die Euler-kringe heeltemal saamgeval.

Interseksie (gedeeltelike toeval)

Hierdie kategorie bevat begrippe wat gemeenskaplike elemente het wat verband hou met kruising. Dit wil sê, die volume van een van die konsepte word gedeeltelik in die omvang van 'n ander ingesluit:

A - die onderwyser;

B is 'n musiekliefhebber.

Soos uit hierdie voorbeeld gesien kan word, oorvleuel die konsepte van konsepte: 'n Sekere groep onderwysers kan dalk musiekliefhebbers wees, en omgekeerd - verteenwoordigers van die pedagogiese beroep kan onder die musiekliefhebbers wees. 'N Soortgelyke verhouding sal in die geval wees wanneer byvoorbeeld die "burger" as die konsep A, en die "outo-geleier" as B. verskyn.

Voorlegging (ondergeskiktheid)

Skematies aangedui as verskillend in skaal Euler sirkels. Verhoudings tussen konsepte in hierdie geval word gekenmerk deur die feit dat die ondergeskikte begrip (minder omvang) heeltemal deel van die ondergeskikte (groter in volume) is. In hierdie geval word die ondergeskikte konsep nie ten volle benut nie.

Byvoorbeeld:

A is 'n boom;

B - denne.

Die konsep van B sal ondergeskik wees aan die konsep A. Aangesien denne na bome verwys, word die begrip A in hierdie voorbeeld ondergeskik, wat die omvang van die konsep van B. absorbeer.

Ondergeskiktheid (koördinasie)

Die verhouding karakteriseer twee of meer konsepte wat mekaar uitsluit, maar behoort aan 'n sekere algemene generiese sirkel. Byvoorbeeld:

A - klarinet;

B - Kitaar;

C - viool;

D is 'n musiekinstrument.

Die konsepte A, B, C sny nie met mekaar nie, maar hulle behoort almal aan die kategorie musiekinstrumente (konsep D).

Kontras (kontras)

Teenoor die verwantskappe tussen konsepte impliseer die toeskrywing van hierdie konsepte aan dieselfde genus. In hierdie geval het een van die begrippe sekere eienskappe (eienskappe), terwyl die ander hulle ontken, die teenoorgestelde in karakter vervang. So, ons gaan oor antonieme. Byvoorbeeld:

A - die dwerg;

B is 'n reus.

Die Euler-sirkel, met die teenoorgestelde verwantskap tussen konsepte, word in drie segmente verdeel, waarvan die eerste ooreenstem met die begrip A, die tweede tot die begrip B, en die derde van alle ander moontlike begrippe.

Omstredenheid (kontradiktornost)

In hierdie geval is beide konsepte spesies van dieselfde genus. Soos in die vorige voorbeeld, dui een van die begrippe sekere eienskappe (eienskappe) aan, terwyl die ander hulle ontken. Anders as die verwantskap van die teenoorgestelde, vervang die tweede, die teenoorgestelde begrip, nie die negatiewe eienskappe deur ander, alternatiewe nie. Byvoorbeeld:

A is 'n ingewikkelde probleem;

B is 'n ongekompliseerde taak (nie-A).

Om die omvang van konsepte van hierdie aard uit te druk, word die Euler-sirkel in twee dele verdeel - die derde intermediêre skakel in hierdie geval bestaan nie. Dus, konsepte is ook antonieme. In hierdie geval word een van hulle (A) positief (bevestig sommige eienskappe), en die tweede (B of nie-A) - negatief (ontken die ooreenstemmende teken): "witskrif" - "nie witskrif nie" - "buitelandse geskiedenis", ens.

Dus, die verhouding van die konsepvolume in verhouding tot mekaar is 'n sleutelkarakter wat die Euler-sirkels bepaal.

Verhoudings tussen stelle

Dit is ook nodig om die begrippe elemente en stelle te onderskei, waarvan die volume die Euler-sirkels weerspieël. Die begrip stel word van wiskundige wetenskap geleen en het 'n wye betekenis. Voorbeelde in logika en wiskunde vertoon dit as 'n versameling voorwerpe. Die voorwerpe self is elemente van 'n gegewe stel. "Baie is baie, denkbaar as een" (Georg Kantor, stigter van stelteorie).

Die benamingen van stelle word in hoofletters uitgevoer : A, B, C, D ..., ens. Elemente van stelle - kleinletters: a, b, c, d ... ens. Voorbeelde van die stel kan studente in dieselfde klas wees, boeke staan Op 'n sekere rak (of byvoorbeeld alle boeke in 'n spesifieke biblioteek), bladsye in die dagboek, bessies in 'n bosglade, ens.

Op sy beurt, as 'n sekere stel geen elemente bevat nie, word dit leeg en word aangedui met die teken van Ø. Byvoorbeeld, die stel snypunte van parallelle lyne, die oplossing van die vergelyking x ² = -5.

Probleemoplossing

Om 'n groot aantal probleme op te los, word Euler sirkels aktief gebruik. Voorbeelde in logika demonstreer duidelik die verband tussen logiese bewerkings om teorie te stel. In hierdie geval word waarheidstabelle van konsepte gebruik. Byvoorbeeld, die sirkel aangedui met die naam A is 'n waarheidsgebied. Dus sal die gebied buite die sirkel 'n leuen wees. Om die area van die diagram te bepaal vir 'n logiese operasie, is dit nodig om die gebiede te definieer wat die Euler-sirkel definieer waarin sy waardes vir elemente A en B waar is.

Die gebruik van Euler sirkels het wye praktiese toepassing in verskillende takke gevind. Byvoorbeeld, in 'n situasie met 'n professionele keuse. As die vak besig is met die keuse van 'n toekomstige beroep, kan hy deur die volgende kriteria gelei word:

W - wat hou ek daarvan om te doen?

D - wat kry ek?

P - hoe kan ek goeie geld maak?

Ons stel dit in die vorm van 'n diagram voor: Euler sirkels (voorbeelde in logika is die snypuntverhouding):

Die gevolg sal wees daardie beroepe wat by die kruising van al drie sirkels sal wees.

Die Euler-Venn-sirkels beslaan 'n afsonderlike plek in wiskunde (stel teorie) in die berekening van kombinasies en eienskappe. Euler sirkels van die stel elemente word ingesluit in die beeld van die reghoek wat die universele stel (U) aandui. In plaas van sirkels kan ander geslote figure ook gebruik word, maar die essensie hiervan verander nie. Die figure sny mekaar, volgens die toestande van die probleem (in die algemeenste geval). Hierdie syfers moet ook dienooreenkomstig gemerk word. Aangesien die elemente van die stelle in ag geneem word, kan punte wat in verskillende segmente van die diagram voorkom, optree. Op sy grondslag is dit moontlik om spesifieke areas te skaduwee, wat dus nuutgestigte stelle aandui.

Met hierdie stelle is dit moontlik om die basiese wiskundige bewerkings te doen: byvoeging (die som van stelle elemente), aftrekking (verskil), vermenigvuldiging (produk). Daarbenewens, as gevolg van Euler-Venn-diagramme, is dit moontlik om bewerkings van vergelykende stelle uit te voer deur die aantal elemente wat daarin ingesluit word, en nie hulle te tel nie.