Georg Cantor: versamelingsleer, biografie en familie wiskunde

Georg Cantor (foto toon later in die artikel) - Duitse wiskundige wat die teorie van stelle ontwikkel en het die konsep van transfinite getalle, oneindig groot, maar verskillend van mekaar. Hy het ook 'n definisie van ordinale en kardinale getalle en hul rekenkundige gestig.

Georg Cantor: 'n kort biografie

Gebore in St Petersburg 1845/03/03. Sy pa was 'n Deense Protestantse Georg Waldemar Cantor, is besig met die handel, in Vol. H. En op die aandelebeurs. Sy ma, Maria, Bem was 'n Katolieke en kom uit 'n familie van prominente musici. Wanneer in 1856 sy pa George siek geword het, die familie op soek na 'n gematigde klimaat het eers Wiesbaden dan na Frankfurt. Wiskundige talent, die seun verskyn voor sy 15de verjaardag terwyl jy studeer in private skole en openbare skole in Darmstadt en Wiesbaden. Op die ou end, Georg Cantor oortuig sy pa in sy vasberadenheid om 'n wiskundige eerder as 'n ingenieur te word.

Na 'n kort opleiding aan die Universiteit van Zurich in 1863 Cantor is oorgeplaas na Berlyn Universiteit fisika, filosofie en wiskunde studeer. Daar is hy geleer:

• Karl Theodor Weierstrass, wie se spesialisasie in die analise, het waarskynlik die grootste invloed op George;
• Ernst Kummer, wat die hoogste rekenkundige geleer;
• Leopold Kronecker, op getalteorie spesialis, wat later in teenstelling Cantor.

Nadat hy een semester aan die Universiteit van Göttingen in 1866, volgende jaar George het sy doktorale proefskrif onder die titel "In wiskunde, die kuns van om vrae te vra is meer waardevol as die oplossing van probleme" met betrekking tot die probleem dat Carl Friedrich Gauss links onopgeloste in sy Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Na kortliks onderrig by die Berlynse Skool vir meisies begin Kantor werk aan die Universiteit van Halle, waar hy gebly het tot aan die einde van sy lewe, eers as 'n dosent, sedert 1872 as 'n assistent-professor, en sedert 1879 die eerste as 'n professor.

navorsing

Aan die begin van 'n reeks van 10 werke 1869-1873, Georg Cantor beskou as die teorie van getalle. Die werk weerspieël die passie vir die vak van sy studie en die effek van Gauss Kronecker. Op 'n voorstel van Heinrich Eduard Heine, kollegas Cantor se Halle, wat sy wiskundige talent erken, het hy na die teorie van trigonometriese reekse, wat die konsep van reële getalle uitgebrei.

Gebaseer op die werkfunksie van 'n komplekse veranderlike van die Duitse wiskundige Bernhard Riemann in 1854, in 1870 Cantor het getoon dat so 'n funksie in net een manier voorgestel kan word - deur trigonometriese reekse. Oorweging van die stel van getalle (punte), wat nie hierdie siening sou weerspreek, het hom gelei, in die eerste plek, in 1872, na die definisie van irrasionele getalle in terme van konvergente rye van rasionale getalle (breuke van heelgetalle) en dan na die begin van die werk op die werk van sy lewe, versamelingsleer en die konsep van transfinite nommers.

versamelingsleer

Georg Cantor, die teorie wat bepaal sy oorsprong in korrespondensie met die Tegniese Instituut van Braunschweig wiskundige Richard Dedekind, was vriende met hom van jongs af. Hulle gevolgtrekking was dat die stelle, eindige of oneindige, is 'n pluraliteit van elemente (bv getalle {0, ± 1, ± 2 ...}) wat 'n sekere eiendom, terwyl die behoud van hul individualiteit. Maar wanneer Georg Cantor toegepas op een korrespondensie studeer hul eienskappe (bv {A, B, C} tot {1, 2, 3}), besef hy gou dat hulle verskil in hul graad van affiliasie, selfs al was dit oneindige versamelings , t. e. vaste fasette of 'n subset van wat insluit dieselfde aantal voorwerpe as dit self. Sy metode het gou ongelooflike resultate.

In 1873, Georg Cantor (wiskundige) het getoon dat rasionale getalle, alhoewel oneindige, is telbare, omdat hulle in een-tot-een-ooreenstemming kan word met natuurlike (dws. E. 1, 2, 3 ,. D.). Hy het gewys dat die versameling reële getalle wat bestaan uit 'n rasionele en irrasionele, en ontelbare oneindig. Wat 'n paradoks, Cantor bewys dat die versameling van alle algebraïese getalle bevat soveel elemente as die versameling van alle heelgetalle, en dat transendentale getalle wat nie algebraïese is, wat is 'n subset van irrasionale getalle is ontelbare en vandaar hulle getal is groter as die heelgetalle en moet in ag geneem word as oneindig.

Teenstanders en ondersteuners

Maar die werk Cantor, waarin hy die eerste keer na vore die resultate te sit, is nie in "Krell" tydskrif as een van die beoordelaars verskyn, is Kronecker gekant. Maar nadat die ingryping van die Dedekind dit gepubliseer is in 1874 onder die titel "Die eienskappe van alle ware algebraïese getalle."

Wetenskap en persoonlike lewe

In dieselfde jaar, tydens die wittebrood saam met sy vrou, Valli Gutman in Interlaken, Switserland, Cantor het Dedekind wat vriendelik opmerking oor sy nuwe teorie. George salaris was klein, maar met die geld van sy vader, wat in 1863 oorlede is, het hy vir sy vrou en vyf kinders huis gebou. Baie van sy werke gepubliseer in Swede in die nuwe tydskrif Acta Mathematica, die redakteur en stigter van wat was Gösta Mittag-Leffler, een van die eerste om die talent van die Duitse wiskundige erken.

Kommunikasie met die metafisika

Teorie Cantor was heeltemal nuwe onderwerp van navorsing met betrekking tot wiskunde oneindige (bv die ry 1, 2, 3 ,. D., en meer komplekse stelle), wat is grootliks afhanklik van een-tot-een-ooreenstemming. Cantor Ontwikkeling van nuwe metodes vir die opstel van vrae oor kontinuïteit en oneindig geleen sy studies gemeng.

Toe hy aangevoer dat oneindige getalle werklik bestaan, het hy na die antieke en Middeleeuse filosofie ten opsigte van werklike en potensiële oneindigheid, asook om die vroeë godsdienstige onderwys, wat ouers hom gegee. In 1883, in sy boek "Grondbeginsels van die algemene teorie van stelle" Kantor gekombineer sy konsep van die metafisika van Plato.

Kronecker ook, wat beweer dat "daar is" net heelgetalle ( "God het die heelgetalle, die res - die werk van die mens"), vir baie jare sterk sy argumente verwerp en verhinder sy aanstelling aan die Universiteit van Berlyn.

transfinite nommers

In 1895-1897 gg. Georg Cantor ten volle gevorm sy idee van kontinuïteit en oneindigheid, insluitend 'n eindelose reeks en kardinale getalle, in sy mees bekende werk, gepubliseer onder die titel "bydrae tot die teorie van transfinite getalle" (1915). Hierdie werk sluit sy opvatting, waarna hy 'n demonstrasie dat 'n oneindige stel in 'n een-tot-een-ooreenstemming gelewer kan word met een van sy deelversamelings.

Die kleinste transfinite kardinale getal beteken dat hy die krag van enige stel, wat in een-tot-een-ooreenstemming kan word met die natuurlike getalle. Kantor beskryf sy Aleph-nul. Groot transfinite pluraliteit Alef-aangewese een, twee of Aleph-t. D. Dit verdere rekenkundige ranggetalle, wat soortgelyk is aan die eindige rekenkundige was ontwikkel. Dus, het hy die konsep van oneindigheid verryk.

Die opposisie in die gesig gestaar het hy, en die tyd wat dit neem om te verseker dat sy idees ten volle aanvaar is, verduidelik die kompleksiteit van die herwaardasie van die antieke vraag wat is die nommer. Kantor het getoon dat 'n stel van punte op die lyn het 'n hoër kapasiteit as Aleph-nul. Dit het gelei tot die bekende probleem van die kontinuum hipotese - geen kardinale tussen Aleph-nul en geen krag punte op die lyn. Hierdie probleem in die eerste en tweede helfte van die 20ste eeu is van groot belang en is ondersoek deur baie wiskundiges, in Vol. H. Kurt Gödel en Paul Cohen.

depressie

Biografie Georga Kantora van 1884 was gekenmerk deur sy incipient geestelike siekte, maar hy het voortgegaan om aktief te werk. In 1897 het hy gehelp om die eerste Internasionale Kongres van Wiskundiges in Zurich hou. Deels omdat hy die Kronecker gekant, dikwels simpatiseer hy met die jong bot wiskundiges en probeer om 'n manier om hulle uit teistering te red deur onderwysers wat bedreig voel deur die nuwe idees te vind.

erkenning

By die draai van die eeu was sy werk ten volle erken as 'n basis vir die teorie van funksies, ontleding en topologie. Daarbenewens Kantora Georga boek dien as 'n stukrag vir verdere ontwikkeling van die formalistiese en intuitionist skool van logiese fondamente van wiskunde. Dit het aansienlik verander die stelsel van onderrig en word dikwels geassosieer met die "nuwe wiskunde."

In 1911, Cantor was onder diegene uitgenooi om die viering van die 500 herdenking van die Universiteit van St Andrews in Skotland. Hy het daar met die hoop om te voldoen Bertrand Russell, wat in sy onlangs gepubliseerde werk Principia Mathematica herhaaldelik verwys na die Duitse wiskundige, maar dit het nie gebeur nie. Universiteit toegeken Cantor 'n eregraad, maar as gevolg van siekte was hy nie in staat is om die toekenning persoonlik aanvaar.

Cantor afgetree in 1913 en het in armoede en honger tydens die Eerste Wêreldoorlog. Vieringe ter ere van sy 70ste verjaardag in 1915 is gekanselleer as gevolg van oorlog, maar 'n klein seremonie was gehou by sy huis. Hy sterf op 1918/06/01, in Galle, in 'n psigiatriese hospitaal, waar hy die laaste jare van sy lewe deurgebring het.

Georg Cantor: A Biography. gesin

9 Augustus 1874, die Duitse wiskundige getroud Valli Gutman. Die egpaar het 4 seuns en 2 dogters. Die laaste kind gebore in 1886 in Cantor 'n nuwe huis gekoop. Ondersteun die familie hy gehelp nalatenskap van sy vader. Die gesondheid van Cantor grootliks beïnvloed die dood van sy jongste seun in 1899 - aangesien dit nooit die depressie gelaat.