Irrasionale getalle: wat is dit en waarvoor word dit gebruik?

Wat is irrasionale getalle? Hoekom is hulle so genoem? Waar word hulle gebruik en wat is hulle? Min kan hierdie vrae sonder huiwering beantwoord. Maar die antwoorde op hulle is eintlik redelik eenvoudig, hoewel nie alles in baie seldsame situasies nodig is nie

Die essensie en benaming

Irrasionale getalle is oneindige nie-periodieke desimale. Die noodsaaklikheid om hierdie konsep in te voer, is te danke aan die feit dat daar nie genoeg voorheen bestaande konsepte van werklike of werklike, heelgetalle, natuurlike en rasionale getalle was om nuwe ontluikende probleme op te los nie. Byvoorbeeld, om te bereken, met die vierkant van watter waarde 2, is dit nodig om nie-periodieke oneindige desimale te gebruik. Daarbenewens het baie van die eenvoudigste vergelykings ook geen oplossing sonder om die konsep van 'n irrasionele nommer bekend te maak nie.

Hierdie stel word aangedui as I. En, soos reeds duidelik, kan hierdie waardes nie as 'n eenvoudige breuk voorgestel word nie, in die teller waarvan daar 'n heelgetal is en in die noemer - 'n natuurlike getal.

Vir die eerste keer het Indiese wiskundiges hierdie verskynsel op een of ander manier in die 7de eeu vC aangetref toe dit ontdek is dat vierkantswortels van sekere hoeveelhede nie eksplisiet aangewys kan word nie. En die eerste bewys van die bestaan van sulke getalle word toegeskryf aan die Pythagorean Gippas, wat dit gedoen het om 'n eenderse regter driehoek te bestudeer. 'N Ernstige bydrae tot die studie van hierdie stel is gebring deur sommige ander geleerdes wat voor ons era geleef het. Die bekendstelling van die konsep irrasionale getalle het gelei tot 'n hersiening van die bestaande wiskundige stelsel, en daarom is dit so belangrik.

Oorsprong van die naam

As die verhouding in Latynse vertaling "breuk", "verhouding" is, die voorvoegsel "ir"
Gee hierdie woord die teenoorgestelde betekenis. Dus, die naam van die stel van hierdie getalle dui daarop dat hulle nie met integer of fraksioneel gekorreleer kan word nie, het 'n aparte plek. Dit volg op hul wese.

Plaas in die algemene klassifikasie

Irrasionale getalle, saam met rasionale getalle, verwys na die groep werklike of reële getalle, wat weer na komplekse een verwys. Daar is geen subsette nie, maar hulle onderskei tussen 'n algebraïese en 'n transendentale verskeidenheid, wat ons hieronder sal bespreek.

eienskappe

Aangesien irrasionale getalle deel van die stel reële getalle is, is al hul eienskappe van toepassing op hulle, wat in rekenkunde bestudeer word (dit staan ook basiese algebraïese wette genoem).

A + b = b + a (kommutativiteit);

(A + b) + c = a + (b + c) (assosiativiteit);

A + 0 = a;

A + (-a) = 0 (bestaan van die teenoorgestelde getal);

Ab = ba (verplasingswet);

(Ab) c = a (bc) (verspreiding);

A (b + c) = ab + ac (verspreidingswet);

As 1 = a

As 1 / a = 1 (die bestaan van 'n inverse getal);

Die vergelyking word ook in ooreenstemming met algemene wette en beginsels uitgevoer:

As a> b en b> c, dan a> c (transitiviteit van die verhouding) en. t. d.

Uiteraard kan alle irrasionale getalle met behulp van basiese rekenkundige bewerkings getransformeer word. Daar is geen spesiale reëls in hierdie geval nie.

Daarbenewens strek die effek van Archimedes se aksioma na irrasionale getalle. Dit verklaar dat vir enige twee hoeveelhede a en b die volgende stelling hou: om as 'n summand 'n voldoende aantal kere te neem, kan mens b oorskry.

die gebruik van

Ten spyte van die feit dat jy in die gewone lewe nie dikwels met hulle te doen het nie, leen irrasionale getalle nie op hul rekening nie. Hulle is groot, maar hulle is byna onsigbaar. Ons is oral omring deur irrasionale getalle. Voorbeelde wat vir almal bekend is, is die getal pi, gelyk aan 3,1415926 ..., of e, wat die basis van die natuurlike logaritme is, 2,718281828 ... In algebra, trigonometrie en meetkunde moet hulle voortdurend gebruik word. Terloops, die bekende betekenis van die "goue gedeelte", dit is die verhouding van die grootste deel tot die kleiner, en omgekeerd, ook Verwys na hierdie stel. Minder bekende "silwer" - ook.

Op die getallelyn is hulle baie dig, sodat tussen enige twee hoeveelhede na die stel rasionele verwys word, moet 'n irrasionele verskynsel voorkom.

Tot dusver is daar baie onopgeloste probleme wat verband hou met hierdie stel. Daar is sulke kriteria as 'n mate van irrasionaliteit en die normaliteit van 'n getal. Wiskundiges gaan voort om die belangrikste voorbeelde van hul deelname aan 'n bepaalde groep te verken. Byvoorbeeld, dit word beskou as e 'n normale getal, dit is die waarskynlikheid dat daar verskillende syfers in die rekord voorkom, dieselfde. Wat pi betref, is daar nog navorsing oor hom. 'N mate van irrasionaliteit is 'n hoeveelheid wat aandui hoe goed 'n getal benader kan word deur rasionale getalle.

Algebraïese en transendentale

Soos reeds genoem, word irrasionale getalle willekeurig in algebraïese en transendentale verdeel. Voorwaardelik, aangesien hierdie klassifikasie streng gebruik word om die stel C te verdeel.

Onder hierdie benaming is komplekse getalle wat werklike of reële getalle insluit.

Dus, 'n algebraïese term is 'n waarde wat die wortel van 'n polinoom is wat nie identies aan nul is nie. Byvoorbeeld, die vierkantswortel van 2 behoort aan hierdie kategorie, aangesien dit 'n oplossing van die vergelyking x ² - 2 = 0 is.

Alle ander reële getalle wat nie aan hierdie voorwaarde voldoen nie, word transendentale genoem. Die bekendste en reeds genoemde voorbeelde verwys na hierdie verskeidenheid - die getal pi en die basis van die natuurlike logaritme e.

Interessant genoeg is nie een van die een of die ander oorspronklik deur wiskundiges in hierdie hoedanigheid afgelei nie, hul irrasionaliteit en transendensie is baie jare na hul ontdekking bewys. Vir pi-bewys is in 1882 gegee en vereenvoudig in 1894, wat 'n einde gemaak het aan die debat oor die kwadratuurprobleem van die sirkel, wat vir 2,5 duisend jaar geduur het. Dit word nog nie ten volle verstaan nie, sodat moderne wiskundiges iets aan die werk het. Terloops, die eerste akkurate berekening van hierdie waarde is deur Archimedes gemaak. Voor hom was alle berekeninge te benader.

Vir e (die Euler of Napier nommer), is die bewys van sy transendensie in 1873 gevind. Dit word gebruik in die oplos van logaritmiese vergelykings.

Onder voorbeelde is die waardes van die sinus, cosinus en raaklyn vir enige algebraïese nie-nulwaardes.