Konvekse veelhoeke. Definisie van 'n konvekse veelhoek. Die hoeklyne van 'n konvekse veelhoek

Hierdie geometriese vorms is oral om ons. Konvekse veelhoeke is 'n natuurlike, soos 'n heuningkoek of kunsmatige (mensgemaakte). Hierdie syfers word gebruik in die vervaardiging van verskillende tipes van 'n deklaag in kuns, argitektuur, ornamente, ens Konvekse veelhoeke het die eiendom wat hul punte lê op die een kant van 'n reguit lyn wat deur die paar aangrensende hoekpunte van die meetkundige figuur beweeg. Daar is ook ander definisies. Dit is dan die konvekse veelhoek, wat gereël in 'n enkele half-vliegtuig met betrekking tot enige reguit lyn met een van sy kante.

konvekse veelhoeke

In die loop van elementêre meetkunde is altyd behandel baie eenvoudig veelhoeke. Om die eienskappe van verstaan geometriese vorms wat jy nodig het om hul aard verstaan. Om mee te begin om te verstaan dat geslote is 'n lyn waarvan die kante is dieselfde. En die figuur wat gevorm word deur dit, kan 'n verskeidenheid van konfigurasies het. Veelhoek genoem eenvoudige geslote Poly Line wie se aangrensende eenhede is nie geleë op een reguit lyn. Sy bande en knope is, onderskeidelik, die kante en bokant van die meetkundige figuur. 'N Eenvoudige Poly Line moet self nie sny.

hoekpunte van die veelhoek is bure geroep, in geval hulle is in die uithoeke van een van sy kante. A meetkundige figuur wat 'n n-de aantal hoekpunte het, en vandaar die n-de aantal partye bekend as die N-gon. Self gebroke lyn is die grens of kontoer van die meetkundige figuur. Veelhoekige vliegtuig of plat veelhoek bekend as die finale deel van enige vliegtuig, hul beperk. Aangrensende kante van die meetkundige figuur genoem Poly Line segmente wat uit dieselfde hoekpunt. Hulle sal nie bure wees as dit gebaseer is op verskillende hoekpunte van die veelhoek.

Ander definisies van konvekse veelhoeke

In elementêre meetkunde, is daar verskeie ekwivalent in betekenis definisies, wat aandui wat 'n konvekse veelhoek genoem. Verder, al hierdie state is ewe waar. A konvekse veelhoek is die een wat:

• elk segment wat enige twee punte binne dit verbind, lê geheel en al daarin;

• daarin lê al sy hoeklyne;

• enige binnehoek nie groter as 180 °.

Veelhoek verdeel altyd die vliegtuig in twee dele. Een van hulle - die beperkte (dit kan ingesluit word in 'n sirkel), en die ander - onbeperk. Die eerste is bekend as die innerlike streek, en die tweede - die buitenste oppervlak van die meetkundige figuur. Dit is die kruising van die veelhoek (met ander woorde - die totale komponent) verskeie half-vliegtuie. Dus, elke segment wat eindig op punte wat behoort aan 'n veelhoek heeltemal aan hom behoort.

Variëteite van konvekse veelhoeke

Definisie konvekse veelhoek nie daarop dui dat daar is baie soorte van hulle. En elkeen van hulle het sekere kriteria. So, die konvekse veelhoeke, wat 'n interne hoek van 180 ° het, verwys na effens konveks. .. N moet gelyk wees of groter as 3. Elk van die driehoeke is konveks: - vierhoek, vyf - vyfhoek, ens Elkeen van die konvekse N-hoeke op aan die volgende belangrike vereistes die konvekse meetkundige figuur wat drie pieke het, is 'n driehoek, vier genoem. Die meetkundige figuur van hierdie tipe in wat al die hoekpunte is geleë op 'n sirkel, bekend as die ingeskrewe sirkel. Beskryf konvekse veelhoek genoem as al sy kante rondom 'n sirkel om haar aan te raak. Twee veelhoeke is gelyk net in die geval genoem wanneer die gebruik van die laag kan gekombineer word. Plat veelhoek genoem veelhoekige vliegtuig ( 'n vliegtuig gedeelte) wat hierdie beperkte geometriese figuur.

Gereelde konvekse veelhoeke

Reëlmatige veelhoeke genoem geometriese vorms met gelyke hoeke en kante. Binne hulle is daar 'n punt 0, wat ewe ver van elkeen van sy hoekpunte. Dit staan bekend as die sentrum van die meetkundige figuur. Lyne verbind die sentrum met die hoekpunte van die meetkundige figuur genoem apothem, en diegene wat die punt 0 verbind met die partye - radiusse.

Korrekte reghoek - vierkante. Gelyksydige driehoek genoem gelyksydig. Vir sulke vorms is daar die volgende reël: elke konvekse veelhoek hoek is 180 ° * (N-2) / n,

waar N - aantal hoekpunte van die konvekse meetkundige figuur.

Die area van 'n reëlmatige veelhoek word bepaal deur die formule:

S = p * h,

waar p gelyk is aan die helfte van die bedrag van alle kante van die veelhoek, en h is die lengte apothem.

Eienskappe konvekse veelhoeke

Konvekse veelhoeke het sekere eienskappe. So, die segment wat enige twee punte van 'n meetkundige figuur, noodwendig geleë in dit verbind. bewys:

Veronderstel dat P - die konvekse veelhoek. Neem twee arbitrêre punte, bv A en B, wat behoort aan P. Deur die huidige definisie van 'n konvekse veelhoek, hierdie punte is geleë op die een kant van die reguit lyn wat enige rigting R. Gevolglik AB het ook hierdie eiendom en is vervat in R. A konvekse veelhoek altyd bevat kan verdeel word in verskeie driehoeke absoluut al die hoeklyne, wat een van sy hoekpunte gehou.

Hoeke konvekse geometriese vorms

Die hoeke van 'n konvekse veelhoek - is hoeke wat gevorm word deur die partye. Binnehoeke is in die binnekant gebied van die meetkundige figuur. Die hoek wat gevorm word deur sy kante wat konvergeer op 'n toppunt, bekend as die hoek van die konvekse veelhoek. Hoeke aangrensend aan die interne hoeke van die meetkundige figuur, genaamd eksterne. Elke hoek van 'n konvekse veelhoek, gereël daarin, is:

180 ° - x

waar x - waarde buite hoek. Hierdie eenvoudige formule is van toepassing op enige tipe van geometriese vorms soos.

In die algemeen, vir buite hoeke bestaan volgende reël: elke konvekse veelhoek hoek gelyk aan die verskil tussen 180 ° en die waarde van die binnehoek. Dit kan waardes wissel van -180 ° tot 180 ° het. Gevolglik wanneer die innerlike hoek is 120 °, die voorkoms sal 'n waarde van 60 ° hê.

Die som van die hoeke van konvekse veelhoeke

Die som van die binnehoeke van 'n konvekse veelhoek is gestig deur die formule:

180 ° * (N-2),

waar N - aantal hoekpunte van die N-gon.

Die som van die hoeke van 'n konvekse veelhoek is eenvoudig bereken. Oorweeg enige sodanige geometriese vorm. Aan die som van die hoeke van 'n konvekse veelhoek bepaal moet een van sy hoekpunte verbind tot ander hoekpunte. As gevolg van hierdie aksie draai (N-2) van die driehoek. Dit is bekend dat die som van die hoeke van 'n driehoek is altyd 180 °. Omdat hulle getal in enige veelhoek gelyk (N-2), die som van die binnehoeke van die figuur gelyk 180 ° x (n-2).

Beloop konvekse veelhoek hoeke, naamlik enige twee aangrensende interne en eksterne hoeke vir hulle in hierdie konvekse meetkundige figuur sal altyd gelyk aan 180 ° wees. Op grond hiervan, kan ons die som van al sy hoeke te bepaal:

180 x N.

Die som van die binnehoeke is 180 ° * (N-2). Gevolglik is die som van al die buitenste hoeke van die deur die formule ingestel figuur:

180 ° * N-180 ° - (N-2) = 360 °.

Som van die eksterne hoeke van enige konvekse veelhoek sal altyd gelyk aan 360 ° (ongeag van die aantal van sy kante) wees.

Buite hoek van 'n konvekse veelhoek is oor die algemeen deur die verskil tussen 180 ° en die waarde van die binnehoek.

Ander eienskappe van 'n konvekse veelhoek

Behalwe die basiese eienskappe van meetkundige figure data, hulle het ook ander, wat voorkom wanneer die hantering van hulle. Dus, enige van veelhoeke kan verdeel word in verskeie konvekse N-hoeke op. Om dit te doen, gaan voort om elk van sy kante en sny die geometriese vorm saam die reguit lyne. Verdeel enige veelhoek in verskeie konvekse dele is moontlik en so dat die top van elk van die stukke saam te val met al sy hoekpunte. Van 'n meetkundige figuur kan baie eenvoudig wees om driehoeke te maak deur al die hoeklyne van een hoekpunt. Dus, enige veelhoek, uiteindelik, kan verdeel word in 'n sekere aantal driehoeke, wat baie nuttig in die oplossing van verskeie take wat verband hou met so 'n geometriese vorms.

Die omtrek van die konvekse veelhoek

Die segmente van die Poly Line,-veelhoek genoem partye, dikwels aangedui met die volgende letters: AB, BC, CD, de, st. Hierdie kant van 'n meetkundige figuur met hoekpunte A, B, C, D, E. Die som van die lengtes van die kante van 'n konvekse veelhoek is sy omtrek genoem.

Die omtrek van die veelhoek

Konvekse veelhoeke mag ingeskryf en beskryf. raaklyn sirkel om al die kante van die meetkundige figuur, bekend as die ingeskrewe daarin. Dit veelhoek genoem beskryf. Die sentrum sirkel wat geskrywe is in die veelhoek is 'n snypunt van halveerlyne van die hoeke binne 'n gegewe geometriese vorm. Die gebied van die veelhoek is gelyk aan:

S = p * r,

waar r - die radius van die ingeskrewe sirkel, en p - semiperimeter hierdie veelhoek.

'N Sirkel met die veelhoek hoekpunte, genaamd beskryf naby dit. Verder het hierdie konvekse meetkundige figuur ingeskrewe. Die sirkel met middelpunt, wat beskryf word oor so 'n veelhoek is 'n sogenaamde kruising punt midperpendiculars alle kante.

Skuins konvekse geometriese vorms

Die hoeklyne van 'n konvekse veelhoek - 'n segment wat nie n verbinding tussen naburige hoekpunte. Elkeen van hulle is binne-in hierdie meetkundige figuur. Die aantal hoeklyne van die N gon is ingestel volgens die formule:

N = n (N - 3) / 2.

Die aantal hoeklyne van 'n konvekse veelhoek speel 'n belangrike rol in elementêre meetkunde. Die aantal driehoeke (K), wat elke konvekse veelhoek kan breek, bereken deur die volgende formule te gebruik:

K = n - 2.

Die aantal hoeklyne van 'n konvekse veelhoek is altyd afhanklik van die aantal hoekpunte.

Verdeling van 'n konvekse veelhoek

In sommige gevalle, om meetkunde take wat nodig is om 'n konvekse veelhoek te breek in 'n paar driehoeke met nie-sny hoeklyne op te los. Hierdie probleem opgelos kan word deur die verwydering van 'n sekere formule.

Definisie van die probleem: bel regte soort verdeling van 'n konvekse N-gon in verskeie driehoeke deur hoeklyne wat sny net by die hoekpunte van 'n meetkundige figuur.

Oplossing: Veronderstel dat P1, P2, P3, ..., Pn - die top van die N-gon. Aantal Xn - die getal van sy mure. Versigtig oorweeg die gevolglike skuins meetkundige figuur Pi Pn. In elk van die gereelde partisies behoort P1 Pn om 'n bepaalde driehoek P1 Pi Pn, waarin 1

Laat i = 2 is 'n groep van 'n gereelde mure, altyd met skuins V2 Pn. Die aantal partisies wat ingesluit in dit, wat gelyk is aan die aantal partisies (N-1) -gon V2 V3 P4 ... Pn. Met ander woorde, dit is gelyk aan Xn-1.

As i = 3, dan die ander groep mure sal altyd bevat 'n skuins V3 P1 en P3 Pn. Die aantal korrekte mure wat vervat is in die groep, sal saamval met die aantal partisies (N-2) -gon P3, P4 ... Pn. Met ander woorde, sal dit wees Xn-2.

Laat i = 4, dan is die driehoeke onder die korrekte verdeling is gebind om 'n driehoek P1 Pn P4, wat die vierkant P1 P2 P3 P4, (N-3) -gon P5 P4 ... Pn sal belenden bevat. Die aantal korrekte mure so vierhoek gelyk X4, en die aantal partisies (N-3) -gon gelyk Xn-3. Gebaseer op die voorafgaande, kan ons sê dat die totale aantal gereelde mure wat vervat is in hierdie groep is gelyk aan Xn-3 X4. Ander groepe, waarin i = 4, 5, 6, 7 ... sal 4 Xn-X5 bevat, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 gereelde mure.

Laat i = n-2, die aantal korrekte mure in 'n gegewe groep sal saamval met die aantal partisies in die groep, waarin i = 2 (met ander woorde, is gelyk aan Xn-1).

Sedert X1 = X2 = 0, X3 = 1 en X4 = 2, ..., die aantal partisies van konvekse veelhoek is:

Xn = xn-1 + xn-2 + xn-3, xn-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 xn-xn-X 4 + 3 + 2 xn-xn-1.

byvoorbeeld:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Die aantal korrekte mure sny binne een skuins

Wanneer die nagaan van individuele gevalle, kan dit aanvaar word dat die aantal hoeklyne van konvekse-N gon is gelyk aan die produk van alle partisies van hierdie grafiek patroon (N-3).

Die bewys van hierdie aanname: veronderstel dat P1n = Xn * (N-3), dan 'n N-gon kan verdeel word in (n-2) is 'n driehoek. In hierdie geval een van hulle kan gestapel word (N-3) -chetyrehugolnik. Terselfdertyd, elke vierkant is skuins. Aangesien hierdie konvekse meetkundige figuur twee diagonale uitgevoer kan word, wat beteken dat in enige (N-3) -chetyrehugolnikah bykomende mag doen diagonale (N-3). Op grond hiervan, kan ons aflei dat enige behoorlike verdeling het 'n geleentheid om (N-3) -diagonali voldoen aan die vereistes van hierdie taak.

Gebied konvekse veelhoeke

Dikwels in die oplossing van verskeie probleme van elementêre meetkunde is daar 'n behoefte om die oppervlakte van 'n konvekse veelhoek te bepaal. Aanvaar dat (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... N verteenwoordig 'n reeks van koördinate van al die naburige hoekpunte van die veelhoek, sonder self-kruisings. In hierdie geval, is sy gebied bereken deur die volgende formule te gebruik:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{i +} Y _i + _1)),

waarin (X _1, Y _{1) = (X N 1, Y} N + _1).