Reëlmatige poliëders: elemente simmetrie en omgewing

Meetkunde is mooi omdat, in teenstelling met algebra, wat nie altyd duidelik waarom en wat jy dink, gee 'n visuele voorwerp. Hierdie wonderlike wêreld van verskillende liggame versier die reëlmatige poliëders.

Algemene inligting oor reëlmatige poliëders

Volgens baie, gereelde veel vlakken, of as hulle platoniese driedimensionele voorwerpe genoem word, in besit unieke eienskappe. Met hierdie voorwerpe wat verband hou verskeie wetenskaplike hipoteses. Wanneer jy begin om die geometriese data van die liggaam bestudeer, jy besef dat byna niks oor so 'n konsep as die reëlmatige poliëders ken. Die aanbieding van hierdie voorwerpe in die skool is nie altyd interessant, so baie nie eens onthou wat hulle genoem. Ter nagedagtenis aan die meeste mense is dit net 'n kubus. Nie een van die liggaam meetkunde nie so volmaak as gereelde veel vlakken besit. Al die name van hierdie geometriese liggame ontstaan van antieke Griekeland. Hulle verteenwoordig die aantal gesigte: die tetrahedron - vier eensydige, zesvlak - Allen, oktaëder - agthoek, dodecaëder - dodecahedral, icosaëder - icosahedral. Al hierdie geometriese liggaam beklee 'n belangrike plek in Plato se opvatting van die heelal. Vier van hulle is vergestalt elemente of entiteite: die tetrahedron - die vuur, die icosaëder - water kubus - aarde, oktaëder - lug. Dodecaëder vergestalt alles. Hy is van mening dat die belangrikste, as 'n simbool van die heelal.

Die veralgemening van die konsep van 'n poliëder

Poliëder is 'n eindige versameling van veelhoeke sodanig dat:

• elk van die kante van enige van die veelhoeke is terselfdertyd net een kant van 'n ander veelhoek aan dieselfde kant;
• uit elk van die veelhoeke jy kan loop om die ander deur 'daaraan grens veelhoeke.

Veelhoeke wat saam die poliëder verteenwoordig die gesigte en hul kant - ribbes. veelvlakke hoekpunte is die hoekpunte van veelhoeke. As die term veelhoek verstaan plat geslote poly lines, kom dan na een definisie van 'n poliëder. In die geval waar deur hierdie term is 'n deel van die vliegtuig wat begrens word deur gebroke lyne bedoel, sal dit oppervlak verstaan wat bestaan uit veelhoekige stukke. Konvekse poliëder is die liggaam lê aan die een kant van die vliegtuig, aangrensend aan sy gesigte genoem.

Nog 'n definisie van 'n poliëder en sy elemente

Poliëder genoem oppervlak bestaan uit veelhoeke, wat die geometriese liggaam beperk. Hulle is:

• nie-konvekse;
• konvekse (reg en verkeerd).

Gereelde poliëder - is 'n konvekse poliëder met maksimale simmetrie. Elemente van reëlmatige poliëders:

• Tetraëder: 6 ribbes 4 gesigte 5 hoekpunte;
• zesvlak (kubus) 12, 6, 8;
• dodecaëder 30, 12, 20;
• oktaëder 12, 8, 6;
• icosaëder 30, 20, 12.

Euler se stelling

Dit stel 'n verhouding tussen die aantal rande, hoekpunte en gesigte is topologically gelykstaande aan 'n gebied. die aantal hoekpunte en gesigte (B + D) het verskillende reëlmatige poliëders te voeg en dit te vergelyk met die aantal ribbes, is dit moontlik om 'n reël te stel: die som van verskeie gesigte gelyk aan die aantal hoekpunte en rande (P) het met 2. Dit is moontlik om 'n eenvoudige formule af te lei:

• B + D = P + 2.

Hierdie formule is geldig vir al konvekse veelvlakke.

basiese definisies

Die konsep van 'n gereelde poliëder is onmoontlik om te beskryf in een sin. Dit is meer gewaardeer en volume. 'N Liggaam word erken as sodanig, is dit noodsaaklik dat dit voldoen aan 'n aantal definisies. Dus, sal 'n meetkundige liggaam 'n gereelde poliëder wanneer hierdie voorwaardes voldoen word:

• dit is konveks;
• dieselfde aantal ribbes konvergeer by elk van sy hoekpunte;
• alle fasette van sy - reëlmatige veelhoeke, gelyk aan mekaar;
• Alle stand hoeke is ewe groot.

Eienskappe van reëlmatige poliëders

Daar is 5 verskillende tipes reëlmatige poliëders:

1. Kubus (zesvlak) - dit het 'n plat kruin hoek is 90 °. Dit het 'n 3-sided hoek. Bedrag gesig hoeke by die toppunt van 270 °.
2. Tetraëder - plat kruin hoek van - 60 °. Dit het 'n 3-sided hoek. Bedrag gesig hoeke by die toppunt - 180 °.
3. Oktaëder - plat kruin hoek van - 60 °. Dit het 'n vier-sided hoek. Bedrag gesig hoeke by die toppunt - 240 °.
4. Dodecaëder - 'n plat kruin hoek van 108 °. Dit het 'n 3-sided hoek. Bedrag gesig hoeke by die toppunt - 324 °.
5. Icosaëder - dit het 'n plat kruin hoek van - 60 °. Dit het 'n vyf-sided hoek. Bedrag gesig hoeke by die toppunt van 300 °.

Die area van reëlmatige poliëders

Die oppervlakte van die meetkundige liggame (S) word bereken as 'n reëlmatige veelhoek area vermenigvuldig met die aantal fasette (G):

• S = (a: 2) x 2G KTG π / p.

Die volume van 'n gereelde poliëder

Hierdie waarde word bereken deur die volume van 'n gereelde piramide wie se basis is 'n reëlmatige veelhoek, die aantal gesigte vermenigvuldig, en sy hoogte is die ingeskrewe radius van die sfeer (r):

• V = 1: 3RS.

Volumes van reëlmatige poliëders

Soos enige ander soliede geometriese figuur, reëlmatige poliëders het verskillende volumes. Hier is 'n formules waarmee hulle kan bereken:

• Tetraëder: α x 3√2: 12;
• oktaëder: α x 3√2: 3;
• icosaëder; α x 3;
• zesvlak (kubus): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecaëder: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elemente van reëlmatige poliëders

Zesvlak en oktaëder is dubbele geometriese liggame. Met ander woorde, kan hulle uit mekaar te kry in die geval dat die swaartepunt van die een word aangeneem as die top van die ander, en andersom. Ook is dubbele icosaëder en dodecaëder. Homself net tetrahedron is tweeledig. Volgens die metode van Euclides kan uit 'n dodecaëder zesvlak verkry word deur die bou van "dakke" op die gesigte van die kubus. Die hoekpunte van die tetrahedron is enige 4 hoekpunte van die kubus, nie aangrensend pare langs die rand. Van zesvlak (kubus) verkry kan word, en ander reëlmatige poliëders. Ten spyte van die feit dat reëlmatige veelhoeke daar is ontelbare, reëlmatige poliëders, daar is net 5.

Die radiusse van reëlmatige veelhoeke

Met elkeen van hierdie geometriese liggame verbind konsentriese sfere 3:

• beskryf wat deur die hoekpunte;
• ingeskrewe met betrekking tot elk van sy gesigte in die middel van dit;
• mediaan met betrekking tot al die kante in die middel.

Die radius van die sfeer beskryf deur die volgende formule bereken word:

• R = a: 2 x OG π / g x OG θ: 2.

Die radius van die ingeskrewe gebied word soos volg bereken:

• R = a: 2 x KTG π / p x OG θ: 2,

waar θ - tweevlakshoek wat daar bestaan tussen aangrensende fasette.

Die mediaan radius van die bol kan bereken word met behulp van die volgende formule:

• ρ = a cos π / p: 2 sin π / h,

waar h = die grootte van 4.6, 6.10, of 10. Die verhouding van die radius van die ingeskrewe beskryf en simmetries met betrekking tot p en q. Dit word soos volg bereken:

• R / R = OG π / p x OG π / k.

Die simmetrie van veelvlakke

Die simmetrie van die reëlmatige poliëders is van primêre belang vir hierdie geometriese liggame. Na wat verneem word as 'n beweging van die liggaam in die ruimte, wat dieselfde aantal hoekpunte, gesigte en rande laat. Met ander woorde, onder die invloed van simmetrie transformasies rand, hoekpunt, of gesig behou sy oorspronklike posisie, of beweeg na die huis posisie van 'n ander rib, die ander hoekpunte of gesigte.

Elemente van simmetrie van die reëlmatige poliëders is algemeen om alle vorme van meetkundige driedimensionele voorwerpe. Hier is dit gedoen word op die identiteit transformasie, wat enige van die punte in die oorspronklike posisie laat. So, wanneer jy die veelhoekige prisma kan 'n paar simmetrieë kry. Enige van hulle kan voorgestel word as die produk van nadenke. Simmetrie, wat is die produk van 'n ewe getal van refleksies, genoem direkte. As dit is die produk van 'n onewe aantal refleksies, dan is dit genoem terugvoer. So, al die draaie rondom die lyn verteenwoordig reguit simmetrie. Enige nadenke poliëder - is die omgekeerde simmetrie.

Om beter te verstaan die simmetrie-elemente van die reëlmatige poliëders, kan jy die voorbeeld van die tetrahedron neem. Enige lyn wat deur een van die hoekpunte en die sentrum van die sal slaag geometriese vorm, sal plaasvind, en deur middel van die sentrum van die rand daarteenoor. Elkeen van die draaie 120 en 240 ° rondom die lyn behoort aan die meervoud tetraëdriese simmetrie. Aangesien dit 4 hoekpunte en gesigte, kry ons 'n totaal van agt direkte simmetrieë. Enige van die reëls wat deur die middel van die kante en die sentrum van die liggaam, dit gaan deur die middel van die teenoorgestelde kant. Enige rotasie van 180 °, bekend as 'n half-draai rondom 'n reguit simmetrie. Sedert die tetrahedron het drie pare ribbes, kry jy drie simmetrielyne. Gebaseer op die bogenoemde, kan ons dat die totale aantal direkte simmetrie, en met die identiteit transformasie te sluit, sal tot twaalf. Ander direkte simmetrie tetrahedron bestaan nie, maar dit het 12 omgekeerde simmetrie. Gevolglik net 24 gekenmerk tetrahedron simmetrieë. Vir duidelikheid, kan ons 'n model van 'n gereelde tetrahedron gemaak van karton te bou en maak seker dit is die geometriese liggaam het eintlik net 24 simmetrie.

Dodecaëder en icosaëder - die naaste aan die liggaam area. Icosaëder het die grootste aantal gesigte, die tweevlakshoek en die meeste van alles kan styf vashou aan die ingeskrewe gebied. Dodecaëder het die laagste hoek defek grootste soliede hoek by die toppunt. Dit kan maksimeer in die omgeskrewe gebied in te vul.

skandering veelvlakke

Reëlmatige poliëders scan, wat ons almal saam vas in die kinderjare, het 'n baie konsepte. As daar is 'n versameling van veelhoeke, is elke kant van wat geïdentifiseer met net een kant van die poliëder, moet die identifisering van die partye aan twee voorwaardes:

• van elke veelhoek, kan jy gaan na 'n veelhoek met die identifisering van die kant;
• identifiseerbare kant moet dieselfde lengte het.

Dit is 'n versameling van veelhoeke wat aan die voorwaardes voldoen, en is 'n poliëder scan genoem. Elkeen van hierdie liggame het 'n paar van hulle. Byvoorbeeld, 'n kubus waarvan daar 11 stukke.