Eenvoudige iterasie metode vir die oplos van stelsels lineêre vergelykings (Slough)

Eenvoudige iterasie metode, ook bekend as die metode van opeenvolgende benadering, - 'n wiskundige algoritme vir die vind van die waardes van 'n onbekende waarde deur 'n geleidelike verduidelik dit. Die kern van hierdie metode is dat, soos die naam aandui, is geleidelik uit te druk 'n aanvanklike benadering van die daaropvolgende kinders, is daar steeds meer verfynde resultate. Hierdie metode word gebruik om die waarde van die veranderlike te vind in 'n gegewe funksie, en die oplossing van stelsels vergelykings, beide lineêre en nie-lineêre.

Kom ons kyk hoe hierdie metode in die oplossing van lineêre stelsels geïmplementeer word. vaste punt iterasie algoritme is soos volg:

1. Die verifikasie van die konvergensie voorwaardes in die aanvanklike oorsig. A konvergensiestelling: as die oorspronklike stelsel matriks is skuins dominante (dit wil sê, elke ry van elemente van die belangrikste skuins moet groter in omvang as die som van die elemente kant hoeklyne in absolute waarde wees), die metode van eenvoudige iterasies - konvergente.

2. Die matriks van die oorspronklike stelsel is nie altyd die diagonale oorheersing. In sulke gevalle kan die stelsel omskep word. Die vergelykings wat die konvergensie toestand tevrede is heel links, met onbevredigend en maak lineêre kombinasies, dit wil sê vermenigvuldig, aftrek, vergelyking saam gevou om die gewenste resultaat te produseer.

As die ontvang stelsel op die hoof skuins is ongerieflik faktore, dan aan beide kante van die vergelyking is bygevoeg met die bepalings van die vorm _i * x _i, wat moet saamval met die tekens tekens van die diagonale elemente.

3. Converting die gevolglike stelsel na normaal oog:

^{x - = β - + α *} x -

Dit kan gedoen word in baie maniere, bv soos volg: die eerste vergelyking om uit te druk x ₁ deur middel van ander onbekende uit vtorogo- x _2, x ₃ van tretego- ens So ons is met behulp van die formule:

_{α ij = - (a ij /} a ii)

_i = b _i / n _ii
Maak seker weer dat die gevolglike stelsel van normale tipe stem ooreen met die konvergensie toestand:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, en i = 1,2, ... N

4. Begin gebruik, eintlik, die metode van opeenvolgende benaderings.

x ⁽⁰⁾ - aanvanklike benadering, spreek ons therethrough x ^(1), gevolg deur X X uitdruklike ^{(1) (2).} Die algemene formule van 'n matriks vorm soos volg:

x ^{(N) = β - + α} * x (n- ¹⁾

Ons bereken, totdat ons die gewenste akkuraatheid te bereik:

_{Max | x i (k) -x} i (k + 1) ≤ ε

So, kom ons kyk in die praktyk, die metode van eenvoudige iterasie. byvoorbeeld:
Los lineêre stelsels:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 met akkuraatheid ε = 10 ^-3

Sien seëvier as die diagonale elemente van die module.

Ons sien dat die konvergensie toestand is tevrede met 'n derde vergelyking. Die eerste en tweede te transformeer, die eerste vergelyking ons voeg twee:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Trek uit die derde een:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Ons het die oorspronklike stelsel in die ekwivalent omskep:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Nou verminder ons die stelsel na normaal oog:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Ons gaan die sameloop van die iteratiewe proses:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, dit wil sê die toestand voldoen word.

0,3947
Aanvanklike benadering x ⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Vervang hierdie waardes in die vergelyking van die normaal tipe, ons die volgende waardes verkry:

0,08835
x ⁽¹⁾ = 0,486793
0.446639

Plaasvervanger nuwe waardes, kry ons:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0,405396
0.558336

Ons gaan voort om te bereken tot totdat jy nader aan die waardes wat aan gespesifiseerde toestande kry.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0,441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0,44164

0.544428

Let op die korrektheid van die resultate:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Resultate verkry deur die vervanging van die verkry waardes in die oorspronklike vergelyking, ten volle voldoen vergelyking.

Soos ons kan sien, die eenvoudige iterasie metode gee 'n redelik akkurate resultate, maar om hierdie vergelyking op te los, het ons 'n baie tyd te spandeer en doen omslagtig berekeninge.