Geometriese progressie en sy eienskappe

Geometriese progressie is belangrik in wiskunde as 'n wetenskap, en toegepas betekenis, want dit het 'n baie breë omvang, selfs in die hoër wiskunde, byvoorbeeld, in die teorie van 'n reeks. Die eerste inligting oor die vordering het gekom om ons van die ou Egipte, veral in die vorm van 'n bekende probleem van die Rhind papirus sewe persone met sewe katte. Variasies van hierdie taak is baie keer herhaal op verskillende tye van ander nasies. Selfs die Velikiy Leonardo Pizansky, bekend as Fibonacci (XIII c.), Met haar gepraat in sy "Boek van die Abacus."

Sodat die geometriese progressie het 'n ou geskiedenis. Dit verteenwoordig 'n numeriese volgorde met 'n nie-nul eerste lid, en elke daaropvolgende, begin met die tweede word bepaal deur 'n konstante, nie-nul getal wat deler vordering genoem vermenigvuldig die vorige herhaling formule (dit gewoonlik aangewys met behulp van die letter Q).
Dit is duidelik dat, kan dit gevind word deur elke daaropvolgende term van die ry te deel met die vorige, dit wil sê z 2: Z 1 = ... = Zn: z N-1 = .... Gevolglik is vir die meeste werk progressie (Zn) voldoende dat hy weet die waarde van die eerste kwartaal van die deler en y 1 q.

Byvoorbeeld, laat z 1 = 7, q = - 4 (q <0), dan is die volgende geometriese progressie verkry 7-28, 112-448, .... Soos jy kan sien, die gevolglike ry is nie eentonig.

Onthou dat 'n arbitrêre volgorde van eentonige (styging / daling) wanneer een van sy lede te volg meer / minder as die vorige een. Byvoorbeeld, die volgorde 2, 5, 9, ..., en -10, -100, -1.000, ... - Mono Tone, die tweede een - 'n afname in meetkundige vordering.

In die geval waar q = 1, is al die lede gevind word, en dit staan bekend as die konstante vordering.

Die volgorde was die vordering van hierdie tipe, moet dit die volgende nodige en voldoende voorwaarde voldoen, naamlik: vanaf die tweede, elkeen van sy lede moet die meetkundige gemiddelde van naburige lede wees.

Hierdie eiendom kan onder sekere twee aangrensende bevinding arbitrêre term vordering.

n-de term eksponensieel maklik gevind word deur die formule: Zn = z 1 * q ^ (N-1), z te weet eerste lid 1 en die deler q.

Sedert die aantal volgorde het 'n bedrag, dan 'n paar eenvoudige berekeninge gee ons 'n formule om die som van die eerste vordering van lede, naamlik bereken:

S n = - (Zn * q - Z 1) / (1 - q).

Vervang, in die formule sy uitdrukking waarde Zn z 1 * q ^ (N-1) vir 'n tweede sommeskadeleer van die vordering te verkry: S N = - Z1 * (q ^ N - 1) / (1 - q).

Waardig is van die aandag van die volgende interessante feit: die kleitablet gevind in opgrawings van antieke Babilon, wat verwys na die VI. BC, bevat merkwaardige manier die som van 1 + 2 + ... + 22 + 29 gelyk aan 2 tot die tiende mag minus 1. Die verduideliking van hierdie verskynsel is nog nie gevind word nie.

Ons neem kennis van een van die eienskappe van meetkundige vordering - 'n konstante werk van sy lede, gespasieer ewe ver van die einde van die ry.

Van besondere belang uit 'n wetenskaplike oogpunt, so 'n ding soos 'n oneindige meetkundige progressie en die berekening van die bedrag. Veronderstelling dat (yn) - 'n meetkundige vordering met deler q, wat voldoen aan die voorwaarde | q | <1, sy bedrag sal verwys word na die limiet na wat ons reeds weet dat die som van die eerste lede, met ongeleide toename van N, dan na dit nader oneindigheid.

Vind hierdie bedrag as gevolg van die gebruik van die formule:

S n = y 1 / (1- q).

En, as ervaring het getoon, vir die oënskynlike eenvoud van hierdie vordering is weggesteek 'n groot aansoek potensiaal. Byvoorbeeld, as ons bou 'n reeks van vierkante volgens die volgende algoritme, die koppeling van die middelpunte van die vorige een, dan vorm hulle 'n vierkantige oneindige meetkundige vordering met 'n deler 1/2. Dieselfde vordering vorm en oppervlakte van driehoeke, verkry op elke stadium van konstruksie, en sy som is gelyk aan die area van die oorspronklike vierkant.